ラティス

数学 において、 束論 （そくろん）とは 束 (lattice) に関する理論のことである。

束の定義

順序構造としての定義

束 （そく）とは、半 順序集合 ( L , ≤) であって、 L のどの二元 x , y に対しても L の部分集合 { x , y } の 順序 ≤ に関する 下限 inf{ x , y } と 上限 sup{ x , y } が存在するもののことである。

あるいは次のように 代数的構造 として定義することもできる。

代数的定義

集合 L に二つの 二項演算 ∧、∨ が定義され、それが次の法則に従うとき、三つ組み ( L , ∧, ∨) は（または単に L は） 束 であると言い、 ∧ と ∨ とを 交わり (meet) と 結び (join) とよぶ。ただし、 冪等 律は他の三法則から導かれるので除いてもよい。なお、「二項演算」は「二項算法」ということもある。

1. 冪等 律： x ∧ x = x ∨ x = x 、
2. 交換律： x ∧ y = y ∧ x , x ∨ y = y ∨ x 、
3. 結合律：( x ∧ y )∧ z = x ∧( y ∧ z ) 、 ( x ∨ y )∨ z = x ∨( y ∨ z ) 、
4. 吸収律 ：( x ∧ y )∨ x = x 、( x ∨ y )∧ x = x 。

二つの定義は同値である。実際、先のように半順序 ≤ によって定義された束において { x , y } の下限と上限とを x ∧ y と x ∨ y とで表せば、これらは上の法則に従う。逆に、この法則に従う二項演算 ∧, ∨ の定義された集合 L において、 y ∧ x = x であることを（あるいは x ∨ y = y であることを） x ≤ y であらわせば、関係 ≤ は L の順序であり、 L の任意の二元 x , y に対し、 x ∧ y と x ∨ y とは、この順序に関する{ x , y }の下限と上限となる。

例

1. 全順序集合は束である。
2. 任意の 集合 S に対して、その べき集合 P ( S ) を集合の包含関係によって順序集合と見做すと、 A , B ∈ P ( S...