偏差値

偏差値 （へんさち、 Standard score ）とは、ある数値が 母集団 の中でどれくらいの位置にいるかを表した 無次元数 。 平均 値が50、 標準偏差 が10となるように標本変数を規格化したものである。

概要

偏差値の利用価値が高いのは、母集団の数値の分布が 正規分布 に近い状態の時である。分布のピークが2箇所ある場合など、正規分布と大きく異なる場合には適切な指標となりえない場合がある。

分布が正規分布に近い場合は、40から60の間に約68.3%、30から70の間に約95.4%、20から80の間に約99.73%、10から90の間に約99.9937%、0から100の間に約99.999953%が含まれる事が知られている。つまり、

• 偏差値60以上（あるいは40以下）は、全体の15.866％。
• 偏差値70以上（あるいは30以下）は、全体の2.275％。
• 偏差値80以上（あるいは20以下）は、全体の0.13499％。
• 偏差値90以上（あるいは10以下）は、全体の0.00315％。
• 偏差値100以上（あるいは0以下）は、全体の0.00002％。

例えば、全受験生が100万人いた学力試験で偏差値を求めると、偏差値80以上となる者は、ほぼ1350人となる。

平均値から大きく離れた場合は0から100の間に収まらないが、その割合は非常に低く、約0.000047%、つまり約200万分の1しかない。偏差値の上限値、下限値は元となる標本の分布によって決まるものであり、いかなる 実数 をもとりうる。

数式による解説

偏差値 $T\_i$ は次の式で求まる。where $\backslash sigma\_x$ ≠0

ただし、\\\end{align}
$N$ ：母集団の大きさ　 $x\_i$ ：個々の値　 $\backslash mu\_x$ ：母平均　 $\backslash sigma\_x$ ：母標準偏差}}である。 なお分母 $\backslash sigma\_x$ は 標準偏差 であり、分子 $x\_i-\backslash mu\_x$ は 偏差 である。偏差が0であるとき（ある標本値が平均値に等しいとき）は偏差値は50となる。また、標準偏差が0である場合、つまり全ての標本値が同じ値であるときはこの式では偏差値は定義できないが、その場合は便宜上全ての標本値の偏差値を50と考えることがある。

応用例

• 学力検査 の結果を表す 学力偏差値 は、 入学試験 の合格率の判定などに広く使われている。

• 知能検査 の結果を表す 知能偏差値 は、教育などに役立てるために、 知能指数 などとともに使われている。

• 何らかの格付け表が作成される場合、比喩的に偏差値が用いられる事がしばしばある。もちろんこの場合でいう“偏差値”とは、根拠あるデータを元に統計学的に得られた値ではなく、リスト作成者ら個々人による感覚付けである。
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