微分

数学 、とくに 解析学 における 微分法 （びぶんほう、 differentiation, derivation ）は、 空間 やその上に定義される 関数 ・ 写像 を各点の近傍で考え、その局所的な振舞いを調べることによって、それらの特徴を記述する方法である。 積分法 と並んで、 解析学 における中心的な概念のうちの一つとなっている。微分においては、特定の無限小を基準にして挙動を測っており、考えている無限小よりも高位の無限小についての情報は測り取れずに落ちてしまうため、ある量の微分は基準となる無限小に対して線型性を示し、やや大域的には考えている点の近傍の線型近似として捉えられる。微分から大域的な情報を得るには、貼り合せ条件や積分といった別の手段をきちんと考える必要がある。

概要

関数 $y\; =f(x)\; \backslash ,$ ある点 $x\; =x\_1\; \backslash ,$ での微分は、 $x\_1\; \backslash ,$ の近くでの関数の形を表す。このグラフが $xy\; \backslash ,$ 座標平面 に書かれているならば、 微分は、関数 $y\; =\; f(x)\; \backslash ,$ の $x\; =\; x\_1\; \backslash ,$ における 接線 の傾きになり、接線の式を求めることができる。接線の傾きは、点 $x\; =\; x\_1\; \backslash ,$ を定めるごとに決まる値で局所的な情報だが、ある程度広い範囲の点における微分を観察すると、関数の形を知ることができる。関数のグラフの曲がり具合や、その周辺では値が最も大きい点（極大）の場所などは、微分という局所的な情報から知ることができるのである。

局所的な情報を集めると、大域的な情報へ繋がるのである。例えば、 自動車 の スピード を常に測っていれば、走行距離を求めることができる。走行距離は タイヤ が回転した数を数えても分かる情報なのであまりありがたみはないかもしれない。これが例えば、 河川 に流れる水の量などであれば、下流で流れた全ての水の量を測るわけにはいかない。このように総量のわかりにくいものは、水の流れる速度を観測し続けることで、河川に流れるおよその水量を把握できる。

微分を用いた 方程式 は 微分方程式 と呼ばれ、 自然科学 や 社会科学 のいろいろな場面で現れる。 力学 や 電磁気学 のような 物理学 はもとより、 生物学 でも 生物の個体数の増減 を微分方程式で表し、 マグロ 漁の予測に使ったり、 伝染病 の伝播を解析する。 経済学 では価値の増減を微分方程式から予測し、 保険数理 では 死力 などの予測にも使われてきた。

このように微分は科学の礎として、広い分野で活躍する概念である。...